【集合】『倍数の個数』100から200までの整数中の特定の倍数の個数を求める問題

100から200までの倍数の個数

今回は、集合の要素の個数の問題です。

100から200までの整数の中で、特定の倍数の個数を求めます。

集合には、覚えなければいけない用語や記号が多くあります。似たような記号も多いですが、しっかりと区別しましょう。

倍数の個数の求め方

例）\(100\) までで \(3\) の倍数はいくつあるでしょうか？

\(3\times 1\),　\(3\times 2\), \(\dots\) \(3\times 66\)

※ \(3\times 67=201\) となり、\(200\) を越えてしまいます。

よって、\(66\) 個

倍数の個数(問題)

\(100\) から \(200\) までの整数のうち、\(5\) または \(8\) の倍数となる整数の個数を求めなさい。

倍数の個数(答案の例)

• \(5\) の倍数となる整数の集合を \(A\)
• \(8\) の倍数となる整数の集合を \(B\)

とする。

① \(n(A)\) を求める

　\(5\times 20\),　\(5\times 21\), \(\dots\), \(5\times 40\)

　よって、\(40-20+1=21\)

　したがって、\(n(A)=21\)

② \(n(B)\) を求める

　\(8\times 13\),　\(8\times 14\), \(\dots\), \(8\times 25\)

　よって、\(25-13+1=13\)

　したがって、\(n(B)=13\)

③ \(n(A\cap B)\) を求める

　\(5\) の倍数かつ \(8\) の倍数は、\(40\) の倍数なので、

　\(40\times 3\),　\(40\times 4\),　\(40\times 5\)

　よって、\(5-3+1=3\)

　したがって、\(n(A\cap B)=3\)

　\(n(A\cup B)=21+13-3=31\)

倍数の個数(解説)

求めたいことを記号で表します。
「 \(5\) または \(8\) の倍数となる整数の個数」を言い換えていくと、
「 \(5\) の倍数または \(8\) の倍数となる整数の個数」となります。

ここで、

•  \(5\) の倍数となる整数の集合を \(A\)
• \(8\) の倍数となる整数の集合を \(B\)

とする。

「 \(A\cup B\) の個数」は、\(n(A\cup B)\)
と表せる。

ベン図から \(n(A\cup B)\) を求める公式を導く。

\(n(A\cup B)\) を求めるために、\(n(A)\) と \(n(B)\) を単純に足してしまうと、

図 1 の 斜線部分を余計に（ \(2\) 回）足してしまう。

なので、\(n(A\cap B)\)（斜線部分）を引かなければならない。

よって、\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)

それぞれの個数を求める。

① \(n(A)\) を求める

　\(5\times 20\),　\(5\times 21\), \(\dots\), \(5\times 40\)

　よって、\(40-20+1=21\)

　したがって、\(n(A)=21\)

② \(n(B)\) を求める

　\(8\times 13\),　\(8\times 14\), \(\dots\), \(8\times 25\)

　よって、\(25-13+1=13\)

　したがって、\(n(B)=13\)

③ \(n(A\cap B)\) を求める

　\(5\) の倍数かつ \(8\) の倍数は、\(40\) の倍数なので、

　\(40\times 3\),　\(40\times 4\),　\(40\times 5\)

　よって、\(5-3+1=3\)

　したがって、\(n(A\cap B)=3\)

公式に当てはめる

\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) より

\(n(A\cup B)=21+13-3=31\)

おわりに

今回は、集合の要素の個数の問題でした。

主に使用する公式はこちらになります。