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数学は非常に難しい科目です。
学校の授業や塾の授業だけだと足りないという方も多くいるのではないでしょうか?そんな方に向けて、なるべく途中式を飛ばさずに丁寧に解説をしたブログとなっています。

高校数学/公務員試験頻出問題の解説や学習に役立つTipsだったり、モチベを上げてくれるような記事も書いていきますので、ぜひ読んでくださいね!

【命題】逆、裏、対偶の関係性

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目次

「逆+裏」は「対偶」である

今回は命題の分野で見かけるワードである、「逆」、「裏」、「対偶」について解説していきます!

一見すると、逆と裏は同じような意味に見えますね。
具体的な問題でこれらを解説していきますので、最後までご覧ください。

【対偶への変換方法】

元の命題を”裏”にしてから”逆”に、もしくは”逆”にしてから”裏”にします!

<元の命題>

 積 \(ab\)が \(3\)の倍数ならば \(a\) または \(b\) は \(3\) の倍数である。

<逆>※「ならば」の両側を入れ替える。

 \(a\) または \(b\) は \(3\) の倍数である。ならば、積 \(ab\) が \(3\) の倍数である。

<裏>※「ならば」の両側を否定する。

 積 \(ab\) が \(3\) の倍数ではない。ならば \(a\) または \(b\) は \(3\) の倍数ではない。

<対偶>※”逆(裏)” をしてから ”裏(逆)”をする。

 \(a\) かつ \(b\) は \(3\) の倍数ではない。ならば、積 \(ab\) は \(3\) の倍数ではない。

逆・裏・対偶(問題)

命題「自然数 \(a\) 、 \(b\) について、 \(a^2+b^2\) が奇数ならば \(ab\) は偶数である」が与えられている。

(\(1\))与えられた命題の裏を答えなさい。
(\(2\))与えられた命題の対偶を答えなさい。
(\(3\))対偶を用いて、与えられた命題が成り立つかどうかを調べなさい。

答案の例

(\(1\)) 与えられた命題の裏を答えなさい。

「自然数 \(a\) 、 \(b\) について、 \(a^2+b^2\) が偶数ならば \(ab\) は奇数である」

(\(2\)) 与えられた命題の対偶を答えなさい。

「自然数 \(a\) 、 \(b\) について、 \(ab\) が奇数ならば \(a^2+b^2\) は偶数である」

(\(3\)) 対偶を用いて、与えられた命題が成り立つかどうかを調べなさい。

\(ab\) が奇数ならば、 \(a\) 、 \(b\) はともに奇数であり、

\(a=2m+1\)
\(b=2n+1\)
(\(m\)、\(n\) は \(0\) 以上の整数)

とおける。このとき、

\(a^2+b^2=(2m+1)^2+(2n+1)^2\)
\(=(4m^2+4m+1)+(4n^2+4n+1)\)
\(=2(2m^2+2n^2+2m+2n+1)\)

\(2m^2+2n^2+2m+2n+1\) は整数であるから、 \(a^2+b^2\) は偶数である。
よって、命題の対偶は真となる。
つまり、与えられた命題も成り立つ。

解説

(\(1\)) 与えられた命題の裏を答えなさい。

基本的な考え方は、上記の解答を見れば、わかると思います。

日常会話でも、「裏を返せば、~」という表現を使ったことがある人も多いのではないでしょうか?
例えば、「顔はイケメンだよね」と言われたら、男性のみなさんはおそらく、
「裏を返せば、顔以外はイケメンじゃないってことね」と捉えませんか?

つまり「裏」とは、文章の意味をひっくり返すことを指しています。

また、「イケメンである」という文章を、「イケメンではない」というように否定する形で意味をひっくり返していますね。
よって、この「文章の意味をひっくり返す」という表現を、数学では「あることがらを否定する」と言います。

ちなみに復習ですが、「逆」とは、
「AならばB」 \(\longrightarrow\) 「BならばA」
のように、言葉の前後をひっくり返すことを指していましたね。

「逆」・・・言葉の前後をひっくり返す
「裏」・・・文章の意味をひっくり返す

というわけで、今回は
「 \(a^2+b^2\) が奇数ならば \(ab\) は偶数である」
の裏を答えるので、この文章の意味をひっくり返し、
「 \(a^2+b^2\) が偶数ならば \(ab\) は奇数である」
ということになるのです。
また、「自然数 \(a\) 、 \(b\) について」というのは本題に入る前の、前置きのようなものなので、この部分はひっくり返す必要はありません。

ちなみに、逆のときと同様、裏についても、成り立つかどうかはわかりません。
今回は裏を答えるだけなので、この命題を確かめることはしないでおきます。

(\(2\)) 与えられた命題の対偶を答えなさい。

「対偶」とは、「逆」と「裏」を組み合わせたものを言います。

よって、(\(1\))の
「\(a^2+b^2\) が偶数ならば \(ab\) は奇数である」
ということがらの逆を言えば、対偶にあたります。

つまり、「 \(ab\) が奇数ならば \(a^2+b^2\) は偶数である」となります。

(\(3\)) 対偶を用いて、与えられた命題が成り立つかどうかを調べなさい。

まず、「与えられた命題」と「対偶」が、どのように関係しているかを説明します。

「PならばQ」という命題があったとき、図でその状況を考えてみます。
まずは、元の命題が真であるとき、対偶の真偽がどうなるかを検証してみましょう。

<図1 PならばQが真であるときの図>

図 \(1\) のように、Pが成り立つときは、赤い部分が成り立っているということですね。
そのとき、Q(青い部分)は完全に赤い部分とかぶっているので、これは元の命題が真であるパターンの一例であるわけです。

続いて、その対偶にあたる「QでないならばPでない」という命題を考えてみます。

<図2 真である命題の対偶を表す図>

図 \(2\)のQでない部分(青い部分)はPでない部分(赤い部分)と完全にかぶっています。よって、こちらの命題も真ということになります。
※四角は全体集合を表しています。

これにより、元の命題が真のとき、その対偶は真になるという結果となりました。

では、元の命題が偽になる場合はどうなのでしょう?

「PならばQ」が成り立たない場合、例えば図 \(3\) のようになっています。

<図3 PならばQが偽であるときの図>

Pが成り立つ場合、赤い部分が成り立っているので、Qの青い部分ににかぶっていれば良いのですが、はみ出してしまっていますね。
よって、はみ出し部分が反例となり、成り立たない、つまりは偽ということになります。

この対偶も、同様に反例が邪魔をして偽となってしまいます。

よって、元の命題が偽のとき、その対偶も偽になるという結果となりました。

細かい証明は省きますが、以上のことから、元の命題とその対偶の真偽は一致することがわかります。

この性質を利用し、元の命題の真偽が証明しにくい場合、対偶の真偽を証明する方向に切り替えるのです。

① 対偶が真であるとき、元の命題は真
② 対偶が偽であるとき、元の命題は偽

さて、では実際に、( \(2\) )で求めた対偶の真偽を確かめてみましょう。

\(ab\) は奇数であるという前提がありますので、積が奇数になるのは、
「奇数×奇数」
の組み合わせしかありません。よって、 \(a\) も \(b\) も奇数ということです。

さらに、 \(a^2\) や \(b^2\) は、同じく「奇数×奇数」を表しているため、どちらも奇数となりますね。
そして、その和である「 \(a^2+b^2\) 」は、「奇数+奇数」なので、偶数となります。

これを数学的に説明すれば、証明完了です。

まず、 \(a\) 、 \(b\) はともに奇数なので、

\(a=2m+1\)
\(b=2n+1\)
(\(m\)、\(n\) は \(0\) 以上の整数)

とおけます。このとき、

\(a^2+b^2\)
\(=(2m+1)^2+(2n+1)^2\)
\(=(4m^2+4m+1)+(4n^2+4n+1)\)
\(=2(2m^2+2n^2+2m+2n+1)\)

ここで、\(m\)と\(n\) は \(0\) 以上の整数と限定されているので、\(2m^2+2n^2+2m+2n+1\) も整数となります。
よって、 \(a^2+b^2\) は偶数になるというわけです。

以上のことから、対偶である「 \(ab\) が奇数ならば \(a^2+b^2\) は偶数である」ということがらは、真ということになります。

よって、上記のポイントに従い、元の命題も真となるのです。

大抵の場合、「AならばB」という命題において、Aの部分が理解しやすいとき、その命題の真偽を判定しやすいです。
今回は、元の命題において、 「\(a^2+b^2\) が奇数」というのは少し理解しにくいですね。
そのため、対偶を利用し、Aの部分をわかりやすくしたのです。

おわりに

さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました!

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