メニュー
スマイルゼミ
カテゴリー
yu-to
オンライン家庭教師/ブログ運営
本ブログを運営しているyu-toと申します。

数学は非常に難しい科目です。
学校の授業や塾の授業だけだと足りないという方も多くいるのではないでしょうか?そんな方に向けて、なるべく途中式を飛ばさずに丁寧に解説をしたブログとなっています。

高校数学/公務員試験頻出問題の解説や学習に役立つTipsだったり、モチベを上げてくれるような記事も書いていきますので、ぜひ読んでくださいね!

【積分法】\(x+\sqrt{x^2+A}=t\) とおく置換積分法

  • URLをコピーしました!
置換積分法の解法手順

STEP1 複雑な部分を他の文字(\(t\))に置き換える
STEP2 \(dx\) を \(dt\) に変換する。
STEP3 \(t\) の関数として不定積分を行う。
STEP4 不定積分の場合は、最後に元の文字(\(x\)) を戻す。

目次

置換積分法

置換積分法とは、複雑な部分を別の文字で置き換える(置換する)ことで計算しやすくする方法のことです!

まずはこの積分を解いてみてください。

例①)\(\displaystyle\int\cos x dx\)

答え

\(\sin x\)

これだけなら公式を覚えておけば解くことはそこまで難しくありませんね。

解けなかった人は、三角関数の不定積分を確認してみてね!

次の問題は少し複雑ですが、先ほどの問題とどこか似ていませんか?

例②)\(\displaystyle\int\cos (2x+1) dx\)

この問題の場合、「\(2x+1\)」の部分の処理が複雑でこのままだと解きにくいですね。そこで、「\(2x+1\)」の部分を丸ごと置き換え(置換)することで「例①」の問題に近づけることで解いていきます。

答え

\(2x+1=t\) とおく。

両辺を微分すると、

\(2dx=dt\)

\(dx=\frac{1}{2} dt\) \(\cdots\) ※

\(\displaystyle\int\cos t dx\)

\(dx\) の部分を ※ を利用して \(dt\) に変換していきます!

\(=\displaystyle\int\cos t\cdot\frac{1}{2} dt\)

\(=\displaystyle\int\frac{1}{2}\cos t dt\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\int\cos t dt\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\sin t\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\sin (2x+1)\)

\(\frac{1}{2}\) を積分の外に出すことで例①の問題と同様に解くことができましたね!

↓以下で扱う問題は、少し複雑な置換積分です。\(x+\sqrt{x^2+1}=t\) とおく置換積分は頻出となってますのでしっかりと確認していきましょう!

置換積分法(問題)

\(x+\sqrt{x^2+1}=t\) の置き換えを利用して、\(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx\) の不定積分を求めよ。

理系大学レベル別おすすめ数学テキスト
>>

解説

\(x+\sqrt{x^2+1}=t\) から

両辺を微分すると、

\(\big(1+\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\big) dx=dt\)

\(\sqrt{x^2+1}\) の微分について

\((\sqrt{x^2+1})’\)

\(=\{(x^2+1)^{\frac{1}{2}}\}’\)

\(=\frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot (x^2+1)’\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x\)

\(=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)

ゆえに \(\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}dx=dt\)

\(x+\sqrt{x^2+1}=t\) より

\(\displaystyle\frac{t}{\sqrt{x^2+1}}dx=dt\)

\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=\frac{1}{t}dt\)

したがって、

\(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=\int\frac{1}{t}dt\)

\(=\log |t|+C\)

\(=\log (x+\sqrt{x^2+1})+C\)

おわりに

さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました!

数学は、時間をかけて勉強すれば誰でも成績を上げられます!

しかし、受験で数学が必要な場合は、試験日までの時間には限りがあります。

アプリや塾/家庭講師など自分に合ったサポートを取り入れることで、限りある時間を効率的に使うことができます。

塾や家庭教師は、専門の講師がサポートに入ることで手厚いサポートを受けることができますが、一方で場所や時間の制約がつきまといます。

「自分のペースで」「場所を気にせず」に学習に取り組みたい人、

学習習慣がすでについてる人におすすめなのが「スタサプ」です。自分のペースでプロの動画授業を受けることができます!

ぜひ試してみてください。>>

よかったらシェアしてね!
  • URLをコピーしました!
  • URLをコピーしました!

コメントはお気軽に♪

コメントする

目次