STEP1 複雑な部分を他の文字(\(t\))に置き換える
STEP2 \(dx\) を \(dt\) に変換する。
STEP3 \(t\) の関数として不定積分を行う。
STEP4 不定積分の場合は、最後に元の文字(\(x\)) を戻す。
置換積分法
置換積分法とは、複雑な部分を別の文字で置き換える（置換する）ことで計算しやすくする方法のことです！
まずはこの積分を解いてみてください。
例①）\(\displaystyle\int\cos x dx\)
答え
\(\sin x\)
これだけなら公式を覚えておけば解くことはそこまで難しくありませんね。
解けなかった人は、三角関数の不定積分を確認してみてね！
次の問題は少し複雑ですが、先ほどの問題とどこか似ていませんか？
例②）\(\displaystyle\int\cos (2x+1) dx\)
この問題の場合、「\(2x+1\)」の部分の処理が複雑でこのままだと解きにくいですね。そこで、「\(2x+1\)」の部分を丸ごと置き換え（置換）することで「例①」の問題に近づけることで解いていきます。
答え
\(2x+1=t\) とおく。
両辺を微分すると、
\(2dx=dt\)
\(dx=\frac{1}{2} dt\) \(\cdots\) ※
\(\displaystyle\int\cos t dx\)
\(dx\) の部分を ※ を利用して \(dt\) に変換していきます！
\(=\displaystyle\int\cos t\cdot\frac{1}{2} dt\)
\(=\displaystyle\int\frac{1}{2}\cos t dt\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\int\cos t dt\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\sin t\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\sin (2x+1)\)
\(\frac{1}{2}\) を積分の外に出すことで例①の問題と同様に解くことができましたね！
↓以下で扱う問題は、少し複雑な置換積分です。\(x+\sqrt{x^2+1}=t\) とおく置換積分は頻出となってますのでしっかりと確認していきましょう！
置換積分法（問題）
\(x+\sqrt{x^2+1}=t\) の置き換えを利用して、\(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx\) の不定積分を求めよ。
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解説
\(x+\sqrt{x^2+1}=t\) から
両辺を微分すると、
\(\big(1+\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\big) dx=dt\)
\(\sqrt{x^2+1}\) の微分について
\((\sqrt{x^2+1})’\)
\(=\{(x^2+1)^{\frac{1}{2}}\}’\)
\(=\frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot (x^2+1)’\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x\)
\(=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)
ゆえに \(\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}dx=dt\)
\(x+\sqrt{x^2+1}=t\) より
\(\displaystyle\frac{t}{\sqrt{x^2+1}}dx=dt\)
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=\frac{1}{t}dt\)
したがって、
\(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=\int\frac{1}{t}dt\)
\(=\log |t|+C\)
\(=\log (x+\sqrt{x^2+1})+C\)
おわりに
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました！
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