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数学は非常に難しい科目です。
学校の授業や塾の授業だけだと足りないという方も多くいるのではないでしょうか?そんな方に向けて、なるべく途中式を飛ばさずに丁寧に解説をしたブログとなっています。

高校数学/公務員試験頻出問題の解説や学習に役立つTipsだったり、モチベを上げてくれるような記事も書いていきますので、ぜひ読んでくださいね!

【積分法】三角関数と指数関数の不定積分

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目次

三角関数と指数関数の不定積分

今回は三角関数と指数関数の不定積分についてです!

不定積分は数学Ⅱでも学びましたが、数学Ⅲではより難しい関数の不定積分を学びます。積分は微分との複合問題として出題される頻出問題なので一緒に確認していきましょう!

以下 \(C\) はいずれも積分定数とする。

\(x^n\) の関数

\(\alpha\neq -1\) のとき \(\displaystyle\int x^{\alpha} dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\)

\(\alpha=-1\) のとき \(\displaystyle\int\frac{1}{x} dx=\log|x|+C\)

三角関数

\(\displaystyle\int\sin x dx=-\cos x +C\)

\(\displaystyle\int\cos x dx=\sin x +C\)

\(\displaystyle\int\frac{1}{\cos^2 x} dx=-\tan x +C\)

\(\displaystyle\int\frac{1}{\sin^2 x} dx=-\frac{1}{\tan x} +C\)

指数関数

\(\displaystyle\int e^x dx=e^x+C\)

\(\displaystyle\int a^x dx=\frac{a^x}{\log a}+C\) (\(a>0\), \(a\neq 1\))

三角関数の不定積分(例題)

(1) \(\displaystyle\int\frac{x-\cos^2 x}{x\cos^2 x} dx\)

(2) \(\displaystyle\int\frac{1}{\tan^2 x} dx\)

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解説

(1) \(\displaystyle\int\frac{x-\cos^2 x}{x\cos^2 x} dx\)

分母の項が \(1\) つなので以下のように分解します!

\(=\displaystyle\int\big(\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{1}{x}\big) dx\)

\(\displaystyle\int\frac{1}{x}=\log|x|+C\) より

\(=\tan x-\log |x|+C\) (\(C\) は積分定数)

(2) \(\displaystyle\int\frac{1}{\tan^2 x} dx\)

\(\tan x=\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\) より

\(=\displaystyle\int\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}dx\)

\(=\displaystyle\int\frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}dx\)

\(=\displaystyle\int\big(\frac{1}{\sin^2 x}-1\big)dx\)

\(=-\displaystyle\frac{1}{\tan x}-x+C\) (\(C\) は積分定数)

指数関数の不定積分(例題)

(1) \(\displaystyle\int (2e^t-3\cdot 2^t) dt\)

(2) \(\displaystyle\int (3e^t-10^t) dt\)

解説

(1) \(\displaystyle\int (2e^t-3\cdot 2^t) dt\)

\(\displaystyle\int e^x dx=e^x\), \(\displaystyle\int a^x dx=\frac{a^x}{\log a}+C\) より

\(=\displaystyle\int\big(2e^t-\frac{3\cdot 2^t}{\log 2}+C\) (\(C\) は積分定数)

(2) \(\displaystyle\int (3e^t-10^t) dt\)

\(\displaystyle\int e^x dx=e^x\), \(\displaystyle\int a^x dx=\frac{a^x}{\log a}+C\) より

\(=3e^t-\displaystyle\frac{10^t}{\log 10}+C\) (\(C\) は積分定数)

おわりに

さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました!

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