三角関数と指数関数の不定積分
今回は三角関数と指数関数の不定積分についてです！
不定積分は数学Ⅱでも学びましたが、数学Ⅲではより難しい関数の不定積分を学びます。積分は微分との複合問題として出題される頻出問題なので一緒に確認していきましょう！
以下 \(C\) はいずれも積分定数とする。
\(\alpha\neq -1\) のとき \(\displaystyle\int x^{\alpha} dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\)
\(\alpha=-1\) のとき \(\displaystyle\int\frac{1}{x} dx=\log|x|+C\)
\(\displaystyle\int\sin x dx=-\cos x +C\)
\(\displaystyle\int\cos x dx=\sin x +C\)
\(\displaystyle\int\frac{1}{\cos^2 x} dx=-\tan x +C\)
\(\displaystyle\int\frac{1}{\sin^2 x} dx=-\frac{1}{\tan x} +C\)
\(\displaystyle\int e^x dx=e^x+C\)
\(\displaystyle\int a^x dx=\frac{a^x}{\log a}+C\) (\(a>0\), \(a\neq 1\))
三角関数の不定積分（例題）
(1) \(\displaystyle\int\frac{x-\cos^2 x}{x\cos^2 x} dx\)
(2) \(\displaystyle\int\frac{1}{\tan^2 x} dx\)
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解説
(1) \(\displaystyle\int\frac{x-\cos^2 x}{x\cos^2 x} dx\)
\(=\displaystyle\int\big(\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{1}{x}\big) dx\)
\(\displaystyle\int\frac{1}{x}=\log|x|+C\) より
\(=\tan x-\log |x|+C\) (\(C\) は積分定数)
(2) \(\displaystyle\int\frac{1}{\tan^2 x} dx\)
\(\tan x=\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\) より
\(=\displaystyle\int\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}dx\)
\(=\displaystyle\int\frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}dx\)
\(=\displaystyle\int\big(\frac{1}{\sin^2 x}-1\big)dx\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{\tan x}-x+C\) (\(C\) は積分定数)
指数関数の不定積分（例題）
(1) \(\displaystyle\int (2e^t-3\cdot 2^t) dt\)
(2) \(\displaystyle\int (3e^t-10^t) dt\)
解説
(1) \(\displaystyle\int (2e^t-3\cdot 2^t) dt\)
\(\displaystyle\int e^x dx=e^x\), \(\displaystyle\int a^x dx=\frac{a^x}{\log a}+C\) より
\(=\displaystyle\int\big(2e^t-\frac{3\cdot 2^t}{\log 2}+C\) (\(C\) は積分定数)
(2) \(\displaystyle\int (3e^t-10^t) dt\)
\(\displaystyle\int e^x dx=e^x\), \(\displaystyle\int a^x dx=\frac{a^x}{\log a}+C\) より
\(=3e^t-\displaystyle\frac{10^t}{\log 10}+C\) (\(C\) は積分定数)
おわりに
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました！
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