同形出現
今回は部分積分法を用いた計算問題です！
複雑な式の積分をする際には部分積分法が使える可能性が高いです！
\(\displaystyle\int_a^b f(x)g'(x)=\big[f(x)g(x)\big]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x) dx\)
かなり感覚的ですが、積で表されていて、\(e^x\) や \(\sin x\) などの三角比が含まれている場合は部分積分法を用いる場合が多い印象です！
同形出現（問題）
\(a\) は \(0\) でない定数とし、\(A=\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-ax}\sin 2x dx\), \(B=\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-ax}\cos 2x dx\) とする。このとき、\(A\), \(B\) の値をそれぞれ求めよ。
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同形出現（解説）
\(A=\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-ax}\sin 2x dx\) について
\(f(x)=\sin 2x\)
\(f'(x)=2\cos 2x\)
\(g'(x)=e^{-ax}\)
\(g(x)=-\displaystyle\frac{1}{a} e^{-ax}\)
よって、
\(A=\big[\sin 2x\cdot\displaystyle\frac{e^{-ax}}{-a}\big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi} \displaystyle\frac{e^{-ax}}{-a}\cdot 2\cos 2x dx\)
\(=0+\displaystyle\frac{2}{a}\)\(\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-ax}\cos 2x dx\)
\(=\displaystyle\frac{2}{a}\) \(B\) \(\cdots\) ①
\(B=\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-ax}\cos 2x dx\) について
\(f(x)=\cos 2x\)
\(f'(x)=-2\sin 2x\)
\(g'(x)=e^{-ax}\)
\(g(x)=-\displaystyle\frac{1}{a} e^{-ax}\)
\(B=\big[\cos 2x\cdot\displaystyle\frac{e^{-ax}}{-a}\big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi} \displaystyle\frac{e^{-ax}}{-a}\cdot (-2\sin 2x) dx\)
\(=\displaystyle\frac{e^{-a\pi}}{-a}+\frac{1}{a}-\displaystyle\frac{2}{a}\)\(\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-ax}\sin 2x dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{a}(1-e^{-a\pi})-\displaystyle\frac{2}{a}\) \(A\) \(\cdots\) ②
①より \(B=\displaystyle\frac{a}{2}A\)
これを②に代入して、
\(\displaystyle\frac{a}{2}A=\frac{1}{a}(1-e^{-a\pi})-\frac{2}{a}A\)
\(\displaystyle\frac{a}{2}A+\frac{2}{a}A=\frac{1}{a}(1-e^{-a\pi})\)
\(\displaystyle{a^2+4}{2a}A=\frac{2}{2a}(1-e^{-a\pi})\)
\(A=\displaystyle\frac{2}{a^2+4}(1-e^{-a\pi})\)
\(B=\displaystyle\frac{a}{a^2+4}(1-e^{-a\pi})\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
- 公務員試験の数学で困っている方
- 統計学（統計検定）の勉強で困っている方
個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
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