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数学は非常に難しい科目です。
学校の授業や塾の授業だけだと足りないという方も多くいるのではないでしょうか?そんな方に向けて、なるべく途中式を飛ばさずに丁寧に解説をしたブログとなっています。

高校数学/公務員試験頻出問題の解説や学習に役立つTipsだったり、モチベを上げてくれるような記事も書いていきますので、ぜひ読んでくださいね!

【積分法】『定積分の部分積分法』同形出現

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目次

部分積分法

今回は部分積分法を用いた計算問題です!

複雑な式の積分をする際には部分積分法が使える可能性が高いです!

\(\displaystyle\int_a^b f(x)g'(x)=\big[f(x)g(x)\big]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x) dx\)

かなり感覚的ですが、積で表されていて、\(e^x\) や \(\sin x\) などの三角比が含まれている場合は部分積分法を用いる場合が多い印象です!

部分積分法(問題)

\(a\) は \(0\) でない定数とし、\(A=\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-ax}\sin 2x dx\), \(B=\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-ax}\cos 2x dx\) とする。このとき、\(A\), \(B\) の値をそれぞれ求めよ。

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解説

\(A=\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-ax}\sin 2x dx\) について

\(f(x)=\sin 2x\)

\(f'(x)=2\cos 2x\)

\(g'(x)=e^{-ax}\)

\(g(x)=-\displaystyle\frac{1}{a} e^{-ax}\)

よって、

 \(A=\big[\sin 2x\cdot\displaystyle\frac{e^{-ax}}{-a}\big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi} \displaystyle\frac{e^{-ax}}{-a}\cdot 2\cos 2x dx\)

\(=0+\displaystyle\frac{2}{a}\)\(\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-ax}\cos 2x dx\)

\(=\displaystyle\frac{2}{a}\) \(B\) \(\cdots\) ①

\(B=\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-ax}\cos 2x dx\) について

\(f(x)=\cos 2x\)

\(f'(x)=-2\sin 2x\)

\(g'(x)=e^{-ax}\)

\(g(x)=-\displaystyle\frac{1}{a} e^{-ax}\)

\(B=\big[\cos 2x\cdot\displaystyle\frac{e^{-ax}}{-a}\big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi} \displaystyle\frac{e^{-ax}}{-a}\cdot (-2\sin 2x) dx\)

\(=\displaystyle\frac{e^{-a\pi}}{-a}+\frac{1}{a}-\displaystyle\frac{2}{a}\)\(\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-ax}\sin 2x dx\)

\(=\displaystyle\frac{1}{a}(1-e^{-a\pi})-\displaystyle\frac{2}{a}\) \(A\) \(\cdots\) ②

①より \(B=\displaystyle\frac{a}{2}A\)

これを②に代入して、

\(\displaystyle\frac{a}{2}A=\frac{1}{a}(1-e^{-a\pi})-\frac{2}{a}A\)

\(\displaystyle\frac{a}{2}A+\frac{2}{a}A=\frac{1}{a}(1-e^{-a\pi})\)

\(\displaystyle{a^2+4}{2a}A=\frac{2}{2a}(1-e^{-a\pi})\)

\(A=\displaystyle\frac{2}{a^2+4}(1-e^{-a\pi})\)

\(B=\displaystyle\frac{a}{a^2+4}(1-e^{-a\pi})\)

おわりに

さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました!

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