【整数の性質】『約数と倍数』特定の倍数になる証明

証明をする際は、先にも書いた通り、まず方針を立てる必要があります。

しかし、証明に必要な情報が頭の中に点在していないと、そもそもそれらをつなぎ合わせて方針を立てることができませんね。そこで、証明の方針を立てるために、バラバラでもいいのでとりあえずたくさんの情報を集めておきましょう。

イメージとしては、ジグソーパズルを思い浮かべてもらうといいかもしれません。ピースがないと、そもそもパズルを組み立てることができないので、一つひとつのピースをまずはかき集める感じですね。

では実際にやっていきましょう。

～情報収集～

① 、\(5\) の倍数が出てきているので、 \(m\) などを整数とすれば \(5\) の倍数は \(5m\) と表されるはずです。

\(\longrightarrow\) よって、 \(a+1=5m\) となるはずですね。

 ② 、 \(9\) の倍数が出てきているので、 \(5\) の倍数と同様、 \(9m\) などと表されますが、今回は \(5\) の倍数とは一貫性がないので、違う文字で表して \(9n\) としておきましょう。

\(\longrightarrow\) よって、 \(a+2=9n\) となるはずですね。

③、\(a+11\) と、 \(a+1\) や \(a+2\) などの関連性を考えたとき、せっかく \(5m\) や \(9n\) と置いたので、これらを代入できるように、 \(a+11\) を変形して \(a+1\) などを無理やり作り出してみましょう。

\(\longrightarrow\)  \(a+11=\) \(a+1\) \(+10\)

\(a+11=\) \(a+2\) \(+9\)

④、 \(a+1\) と \(a+2\) を代入してみると、

 \(a+1+10=5m+10=5(m+2)\)

 \(a+2+9=9n+9=9(n+1)\)

⑤、 \(a+11\) をいじっていると、④より、 \(5\) の倍数でもあり \(9\) の倍数でもあることがわかるので、最小公倍数である \(45\) の倍数でもあるはずですね。

～方針～

①、\(a+1\) が \(5\) の倍数であることを式で表す

②、\(a+2\) が \(9\) の倍数であることを式で表す

③、\(a+11\) を \(a+1\) を使って変形して、 \(5\) の倍数であることを示す

④、\(a+11\) を \(a+2\) を使って変形して、 \(9\) の倍数であることを示す

⑤、\(5\) と\(9\) が互いに素であることを利用して、最小公倍数である \(45\) の倍数でもあることを示す