【複素数平面】複素数の乗法と回転

（考え方）

\(z=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\),　\(z’=r(\cos\theta+i\sin\theta)\cdot z\) とし、\(P(z)\),　\(P'(z’)\) とする。

\(z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\),　\(z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)\) とするとき、

・\(z_1z_2=r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}\)

・\(|z_1z_2|=|z_1||z_2|\)

・\(\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\)

長さは掛け算されて、偏角は足し算されます！

上記より、

\(z’=r(\cos\theta+i\sin\theta)\cdot z\)

　\(=r(\cos\theta+i\sin\theta)\times r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\)

　\(=rr_1\{\cos(\theta+\theta_1)+i\sin(\theta+\theta_1)\}\)

よって、\(|z’|=rr_1\),　\(\arg z’=\theta_1+\theta\)

したがって、点 \(P'(z’)\) は、点 \(P\) を原点 \(O\) を中心として角 \(\theta\) だけ回転し、更に \(OP\) を \(r\) 倍拡大（または縮小）した点である。

特に、\(iz\) は、点 \(z\) を原点を中心として \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) だけ回転した点である。

（問題）

(1)　\(z=2-6i\) とする。点 \(z\) を、原点を中心として次の角だけ回転した点を表す複素数を求めよ。

　(ア)　\(\displaystyle\frac{\pi}{6}\)

　(イ)　\(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

(2)　点 \((1-i)z\) は、点 \(z\) をどのように移動した点であるか。

（解説）

(ア)　\(\displaystyle\frac{\pi}{6}\)

　\(\big(\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\big)\cdot z=\big(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\big)(2-6i)\)

\(=\sqrt{3}-3\sqrt{3}i+i+3\)

\(=3+\sqrt{3}+(1-3\sqrt{3})i\)

(イ)　\(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

　\(\big\{\cos\big(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\big)+i\sin\big(-\frac{\pi}{2}\big)\big\}\cdot z=(0-i\times 1)(2-6i)\)

\(=-6-2i\)

(2)　点 \((1-i)z\) は、点 \(z\) をどのように移動した点であるか。

　\((1-i)z=\sqrt{2}\big(\cos\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+i\sin\frac{1}{\sqrt{2}}\big)z\)

\(=\sqrt{2}\big\{\cos\big(-\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{4}}\big)+i\sin\big(-\frac{\pi}{4}\big)\big\}z\)

よって、点 \((1-i)z\) は点 \(z\) を、原点を中心として \(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\) だけ回転し、原点からの距離を \(\sqrt{2}\) 倍した点である。