【複素数と方程式】複素数の基礎・基本

①　複素数 \(a+bi\)

\(b=0\) → 実数 \(a\)
\(b\neq 0\) → 虚数 \(a+bi\)
特に、\(a=0\),　\(b\neq 0\) のとき純虚数 \(bi\)

②　複素数の相等

\(a+bi=c+di\)
\(\longleftrightarrow\) \(a=c\),　\(b=d\)
特に、\(a+bi=0\)
\(\longleftrightarrow\) \(a=0\),　\(b=0\)

\(2\) 次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) \((a\),　\(b\),　\(c\) は実数\()\) の解は、

\(x=\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(2\) 次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) \((a\),　\(b\),　\(c\) は実数\()\) において、\(b^2-4ac\) を、この \(2\) 次方程式の判別式といい、\(D\) で表す。すなわち、\(D=b^2-4ac\)

\(2\) 次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解と、その判別式 \(D\) について、次のことが成り立つ。

【\(2\) 次方程式の解の種類の判別】
\(D>0\)
\(\longleftrightarrow\) 異なる \(2\) つの実数解をもつ
\(D=0\)
\(\longleftrightarrow\) 重解をもつ
\(D<0\)
\(\longleftrightarrow\) 異なる \(2\) つの虚数解をもつ

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\(2\) 次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の \(2\) つの解を \(\alpha\),　\(\beta\) とする。

\(2\) 次方程式の解と係数の関係
\(\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{b}{a}\),　\(\alpha\beta=\displaystyle\frac{c}{a}\)

\(2\) 次式の因数分解　\(ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\)

\(2\) 数を解をする \(2\) 次方程式
\(2\) 数 \(\alpha\),　\(\beta\) に対して、\(\alpha+\beta=p\),　\(\alpha\beta=q\) とすると、\(\alpha\) と \(\beta\) を解とする \(2\) 次方程式の \(1\) つは、\(x^2-px+q=0\)

解説）

(1)　\((4+5i)-(3-2i)\)
\(=(4-3)+(5+2)i=1+7i\)

(2)　\((2+i)^2\)
\((2+i)^2=(2+i)(2+i)\)
\(=(4-1)+(2+2)i=3+4i\)

(3)　\(\displaystyle\frac{3+2i}{2+i}-\frac{i}{1-2i}\)

\(\displaystyle\frac{3+2i}{2+i}-\frac{i}{1-2i}=\displaystyle\frac{(3+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}+\frac{i(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}\)

\(=\displaystyle\frac{8+i}{5}-\frac{-2+i}{5}\)
\(=\displaystyle\frac{(8+i)-(-2+i)}{5}\)
\(=\displaystyle\frac{10}{5}=2\)

解説②）
\(x^2+2(k-1)x-k^2+4k-3=0\) の判別式を \(D\) とおく。

\(D=\{2(k-1)\}^2-4(-k^2+4k-3)\)
\(=4(k^2-2k+1)+4k^2-16k+12\)
\(=8k^2-24k+16\)
\(=8(k^2-3k+2)\)
\(=8(k-1)(k-2)\)

\((i)\)　\(D>0\) すなわち
\(k<1\),　\(2<k\) のとき 2 つの異なる実数解を持つ

\((ii)\)　\(D=0\) すなわち
\(k=1\),　\(2\) のとき 重解を持つ

\((iii)\)　\(D<0\) すなわち
\(1<k<2\) のとき 2 つの異なる虚数解を持つ

問題）\(2\) 次方程式 \(x^2-2x+3=0\) の \(2\) つの解を \(\alpha\),　\(\beta\) とする。次の式の値を求めよ。
(1)　\((\alpha+1)(\beta+1)\)
(2)　\(\alpha^2+\beta^2\)
(3)　\(\alpha^3+\beta^3\)

解説）
解と係数の関係より \(\alpha+\beta=2\),　\(\alpha\beta=3\)

(1)　\((\alpha+1)(\beta+1)\)
\(=\alpha\beta+\alpha+\beta+1\)
\(=3+2+1=6\)

(2)　\(\alpha^2+\beta^2\)
\((\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2\)
\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)
\(=2^2-2\times 3=-2\)

(3)　\(\alpha^3+\beta^3\)
\((\alpha+\beta)^3=\alpha^3+\beta^3+3\alpha\beta(\alpha+\beta)\)
\(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\)
\(=2^3-3\times 3\times 2=-10\)