恒等式：含まれている文字にどんな値を代入しても、その等式が常に成り立つ等式のこと。
例）\((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\)
\(x\) と \(y\) に何を代入しても成り立つ。
方程式：特定の値のときにのみ成り立つ等式のことです。
例）\(2x+4=8\)
\(x\) に \(2\) が代入されたときにのみ成り立つ。
恒等式と方程式の違い
今回は恒等式と方程式の違いを解説します！
恒等式を理解する上で、恒等式と方程式の違いを理解することが重要です。
・恒等式とは
・方程式と恒等式の違い
・恒等式を解くときのポイント
これらについて解説していきます。
恒等式とは？
恒等式とは、含まれている文字にどのような値を代入しても、その等式の両辺の値が存在する限り常に成り立つ等式のこと。（方程式は、特定の値のときにのみ成り立つ等式のことです）
例）
① \(2x=4\) は \(x=2\) のときにのみ成り立ちます。
よって、この等式は方程式です。
② \(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\) はどんな \(x\) を代入しても成り立ちます。
よって、この等式は恒等式です。
「特定の値のときに成立する」か「任意の値のときに成立する」かを比べれば良いわけですね！
恒等式を解く時のポイント
ポイント
両辺を同じ形にする。
例）\((2-a)x+4=4\) が恒等式のとき、\(a\) の値を求める。
このままですと、解くことはできません。
\(2x-ax+4=4\)
\(2x+4=ax+4\)
このように式を変形させると、\(a\) の値を求めることができます。
恒等式の問題
次の等式が \(x\) についての恒等式となるように、定数 \(a\), \(b\), \(c\) の値を求めよ。
\(\displaystyle\frac{-2x^2+6}{(x+1)(x-1)^2}=\frac{a}{x+1}-\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2}\)
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答案の例
（右辺）
\(=\displaystyle\frac{a(x-1)^2}{(x+1)(x-1)^2}-\frac{b(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)^2}+\frac{c(x+1)}{(x+1)(x-1)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{a(x-1)^2-b(x+1)(x-1)+c(x+1)}{(x+1)(x-1)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{a(x^2-2x+1)-b(x^2-1)+cx+c)}{(x+1)(x-1)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{ax^2-2ax+a-bx^2+b+cx+c)}{(x+1)(x-1)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{(a-b)x^2+(-2a+c)x+a+b+c)}{(x+1)(x-1)^2}\)
よって、
\(-2x^2+6=(a-b)x^2+(-2a+c)x+a+b+c\)
\(\begin{cases}-2=a-b\cdots①\\0=-2a+c\cdots②\\6=a+b+c\cdots③\end{cases}\)
①より
\(b=a+2\) \(\cdots\) ①’
①を③に代入
\(6=a+a+2+c\)
\(4=2a+c\) \(\cdots\)④
②と④について
\(\begin{cases}-2a+c=0\cdots②\\2a+c=4\cdots④\end{cases}\)
\(②-④\) より
\(-4a=-4\)
\(a=1\)
②に代入すると
\(-2\times 1+c=0\)
\(-2+c=0\)
\(c=2\)
\(a=1\) と \(c=2\) を ③に代入すると、
\(6=1+b+2\)
\(b=3\)
よって、\(a=1\), \(b=3\), \(c=2\)
解説
左辺と右辺の形を合わせる
（右辺）
\(=\displaystyle\frac{a(x-1)^2}{(x+1)(x-1)^2}-\frac{b(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)^2}+\frac{c(x+1)}{(x+1)(x-1)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{a(x-1)^2-b(x+1)(x-1)+c(x+1)}{(x+1)(x-1)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{a(x^2-2x+1)-b(x^2-1)+cx+c)}{(x+1)(x-1)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{ax^2-2ax+a-bx^2+b+cx+c)}{(x+1)(x-1)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{(a-b)x^2+(-2a+c)x+a+b+c)}{(x+1)(x-1)^2}\)
両辺の分子を比べる
両辺に\(\times (x+1)(x-1)^2\) をすることにより、各辺の分子を比べる。
よって、
\(-2x^2+6=(a-b)x^2+(-2a+c)x+a+b+c\)
両辺の \(x^2\), \(x\) の係数と両辺の定数をそれぞれ比べる。
\(\begin{cases}-2=a-b\cdots①\\0=-2a+c\cdots②\\6=a+b+c\cdots③\end{cases}\)
連立方程式を解こう
①より
\(b=a+2\) \(\cdots\) ①’
①を③に代入
\(6=a+a+2+c\)
\(4=2a+c\) \(\cdots\)④
②と④について
\(\begin{cases}-2a+c=0\cdots②\\2a+c=4\cdots④\end{cases}\)
\(②-④\) より
\(-4a=-4\)
\(a=1\)
②に代入すると
\(-2\times 1+c=0\)
\(-2+c=0\)
\(c=2\)
\(a=1\) と \(c=2\) を ③に代入すると、
\(6=1+b+2\)
\(b=3\)
よって、\(a=1\), \(b=3\), \(c=2\)
おわりに
今回は恒等式と方程式の違いを解説しました！
恒等式と方程式の違いをしっかりと理解しておきましょう！
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
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個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
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