二項定理とは？
二項定理
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演習問題
大問１ 次の式を展開しなさい。
(1) \((x+y)^4\)
(2) \((2x+3)^5\)
(3) \((x-2y)^4\)
(4) \(\left(x+\displaystyle\frac{1}{x}\right)^5\)
(5) \(\left(2x-\displaystyle\frac{1}{x}\right)^4\)
大問２ 次の等式を証明せよ。
(1) \({}_nC_0+{}_nC_1+{}_nC_2+\cdots +{}_nC_r+\cdots +{}_nC_n=2^n\)(2) \({}_nC_0-{}_nC_1+{}_nC_2-\cdots +(-1)^r {}_nC_r+\cdots +(-1)^n{}_nC_n=0\)
(3) \({}_nC_0-2 {}_nC_1+2^2 {}_nC_2-\cdots +(-2)^r {}_nC_r\cdots +(-2)^n {}_nC_n=(-1)^n\)
解説
大問１ 次の式を展開しなさい。
(1) \((x+y)^4\)
\(=x^4+{}_4C_1x^3y+{}_4C_2x^2y^2+{}_4C_3xy^3+y^4\)
\(=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4\)
(2) \((2x+3)^5\)
\(=(2x)^5+{}_5C_1 (2x)^4\cdot 3+{}_5C_2 (2x)^3\cdot 3^2+{}_5C_3 (2x)^2\cdot 3^3+{}_5C_4 2x\cdot 3^4+3^5\)
\(=32x^5+5\cdot 16x^4\cdot 3+10\cdot 8x^3\cdot 9+10\cdot 4x^2\cdot 27+5\cdot 2x\cdot 81+243\)
\(=32x^5+240x^4+720x^3+1080x^2+810x+243\)
(3) \((x-2y)^4\)
\(=x^4+{}_4C_1 x^3 (-2y)+{}_4C_2 x^2 (-2y)^2+{}_4C_3 x^1 (-2y)^3+(-2y)^4\)
\(=x^4+4 x^3 (-2y)+6x^2\cdot 4y^2+4x^1 (-8y^3)+16y^4\)
\(=x^4-8x^3y+24x^2y^2-32xy^3+16y^4\)
(4) \(\left(x+\displaystyle\frac{1}{x}\right)^5\)
\(=x^5+{}_5C_1 x^4\cdot\displaystyle\frac{1}{x}+{}_5C_2 x^3\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^2+{}_5C_3 x^2\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^3+{}_5C_4 x\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^4+\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^5\)
\(=x^5+5 x^4\cdot\displaystyle\frac{1}{x}+10x^3\cdot\displaystyle\frac{1}{x^2}+10 x^2\cdot\displaystyle\frac{1}{x^3}+5x\cdot\displaystyle\frac{1}{x^4}+\displaystyle\frac{1}{x^5}\)
\(=x^5+5x^3+10x+\displaystyle\frac{10}{x}+\displaystyle\frac{5}{x^3}+\displaystyle\frac{1}{x^5}\)
(5) \(\left(2x-\displaystyle\frac{1}{x}\right)^4\)
\(=(2x)^4+{}_4C_1\cdot (2x)^3\cdot\left(-\displaystyle\frac{1}{x}\right)+{}_4C_2\cdot (2x)^2\cdot\left(-\displaystyle\frac{1}{x}\right)^2+{}_4C_3\cdot 2x\cdot\left(-\displaystyle\frac{1}{x}\right)^3+\left(-\displaystyle\frac{1}{x}\right)^4\)
\(=16x^4+32x^3\cdot\left(-\displaystyle\frac{1}{x}\right)+24x^2\cdot\left(-\displaystyle\frac{1}{x}\right)^2+8x\cdot\left(-\displaystyle\frac{1}{x}\right)^3+\left(-\displaystyle\frac{1}{x}\right)^4\)
\(=16x^4-32x^2+12-\displaystyle\frac{8}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^4}\)
大問２ 次の等式を証明せよ。
\((1+x)^n\) の展開式を用いる。
(1) \({}_nC_0+{}_nC_1+{}_nC_2+\cdots +{}_nC_r+\cdots +{}_nC_n=2^n\)※に \(x=1\) を代入すると、
\((1+1)^n={}_nC_0+{}_nC_1+{}_nC_2+\cdots +{}_nC_r+\cdots+{}_nC_n\)
よって、\({}_nC_0+{}_nC_1+{}_nC_2+\cdots +{}_nC_r+\cdots+{}_nC_n=2^n\)
(2) \({}_nC_0-{}_nC_1+{}_nC_2-\cdots +(-1)^r {}_nC_r+\cdots +(-1)^n{}_nC_n=0\)※に \(x=-1\) を代入すると、
\((1+(-1))^n={}_nC_0 1^n+{}_nC_1 1^{n-1}(-1)^1+{}_nC_2 1^{n-2}(-1)^2+\cdots +{}_nC_r 1^{n-r}(-1)^r+\cdots +{}_nC_n (-1)^n\)
\(0^n={}_nC_0-{}_nC_1+{}_nC_2-\cdots +(-1)^r{}_nC_r+\cdots +(-1)^n {}_nC_n\)
よって、\({}_nC_0-{}_nC_1+{}_nC_2-\cdots +(-1)^r {}_nC_r+\cdots +(-1)^n{}_nC_n=0\)
(3) \({}_nC_0-2 {}_nC_1+2^2 {}_nC_2+\cdots +(-2)^r {}_nC_r+\cdots +(-2)^n {}_nC_n=(-1)^n\)
\((1+(-2))^n={}_nC_0 1^n+{}_nC_1 1^{n-1}(-2)^1+{}_nC_2 1^{n-2}(-2)^2+\cdots +{}_nC_r 1^{n-r}(-2)^r+\cdots +{}_nC_n (-2)^n\)
\((-1)^n={}_nC_0-2{}_nC_1+2^2{}_nC_2-\cdots +(-2)^r{}_nC_r+\cdots +(-2)^n{}_nC_n\)
よって、\({}_nC_0-2 {}_nC_1+2^2 {}_nC_2+\cdots +(-2)^r {}_nC_r+\cdots +(-2)^n {}_nC_n=(-1)^n\)
おわりに
以上が二項定理を使った演習問題でした。
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました！
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