素数の不思議『素数は螺旋を描く？』

「なぜ素数は螺旋を描くのか？」

https://gigazine.net/news/20230506-prime-numbers-make-spirals/

「3Blue1Brown – Why do prime numbers make these spirals?」

https://www.3blue1brown.com/lessons/prime-spirals

素数は螺旋を描く？

一見すると規則性のないように考えられる素数は、任意の観点から結びつけるとまるで螺旋を描いているようん見えることがあります。数学者のグラント・サンダーソン氏が解説してくれています。

ある二次元平面に点を置く場合を考えます。

点 \((1\),　\(1)\) は原点から角度 \(1\) ラジアン、距離 \(1\) の位置にあります。同様に \((2\),　\(2)\),　\((3\),　\(3)\),　\((4\),　\(4)\) の点も置いていきます。

このように点を府やs続けると次第に螺旋状に広がり、「アルキメデスの螺旋」と呼ばれる図形を描きます。

この図形から素数だけを抜いてみるとこんな感じになります。穴の空いた部分が素数ということですが、およそ規則的とは思えません。

これを大きなスケールで見てみると、光の束が \(4\) 本ずつ分けられているように見えるのです。（不思議…！）

もっと細かくみると、細かい螺旋は \(20\) ほんの線で構成されており、より大きなスケールでみると合計 \(280\) 本の線が集まっているように見えます。

このような規則性は素数だけでなく、整数だけをピックアップしても同じような線が現れます。しかし、なぜこのような規則が生まれるのかというのはいまだに謎です。素数に限って突き詰めると、素数の分布に関する最も重要な定理のひとつ「ディレクレの定理」にたどり着きます。

素数が螺旋を描くことがわかってなにか意味があるの？

おそらく意味はあるのでしょう。しかし、今回の内容が社会的に意味があるかどうかは正直どちらでも良いかもしれません。研究者のみなさんは社会的な意味を求めて日々研究してくれていると思います。しかし、学ぶ側として必ずしも意味のある学びを求めることにどこまでの意義があるのでしょう？

サンダーソン氏は、このような形で数学の面白みに触れる意義について

「確かに教科書や講座で学習することで重要な事実をより集中的に学ぶことができ、つまらない行き止まりがはるかに少なくなります。しかし、これらのトピックを自分で再発見することには”特別な意味”があります。オイラーのトーシェント関数を定義する前に効果的に再発明したり、連分数について学ぶ前に有理近似について疑問に思い始めたり、ディリクレという名前を聞く前に剰余クラス間で素数がどのように分割されるかを真剣に調べたりしてそれらのトピックを学ぶと、押し付けられた定義としてではなく、親しみやすい友人として見ることができます」

と話しました。

ネットが普及し、chatGPTも普及しつつある社会において、「意味のある学び」だけではなく「楽しい学び」も重要ではないでしょうか？そんなことを思いながら素数の不思議に酔いしれましょう笑