【ベクトル】『ベクトルの定義』ベクトルの基礎・基本

ベクトル

ベクトルの基礎・基本について話していきます！

高校数学のベクトルは、平面ベクトルと空間ベクトルに分けられます。

空間ベクトルは少し難しい印象を受けると思いますが、切り取った断面図を見て問題を解く場合がほとんどです。断面図は平面なので、平面ベクトルを解くことと同じです。つまり、平面ベクトルをある程度理解できれば、同時に空間ベクトルも理解できるということです。

では、平面図形におけるベクトルの基本用語等を確認していきましょう！

ベクトルの基本事項

基本用語

ベクトルの相等について

ベクトルとは、向きと大きさを表したものです。

このように、\(2\) つのベクトルの相等を考える時、どの位置にいるのか？は関係ありません。あくまでも向きと長さが一致した \(2\) つのベクトルが等しいと言えます。

ベクトルの加法・減法・実数倍

ベクトルは、上述した通り、向きと大きさを表したものです。

・\(\overrightarrow{a}=3\)
・\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=5\)

つまり、上述のように表されることはありません。「大きさ」は数値化されるので一見正しいように思えますが、ベクトルは「向き」も含まれているので、その性質にそぐいません

ベクトルの演算法則

実数の場合、

交換法則：\(2+3=3+2\)
結合法則：\((2+3)+4=2+(3+4)\) 等

が成り立ちます。ベクトルであっても同じような法則が成り立ちます。

ベクトルの演算法則

その他の演算法則

その他
\(k(l\overrightarrow{a})=(kl)\overrightarrow{a}\)
\((k+l)\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}\)
\(k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}\)

なぜこのような法則を確認する必要があるのか？それは、実数とベクトルの定義が違うからです。実数は、みなさんがよく知ってるただの数字ですし、ベクトルは、大きさと向きを含んだものです。定義が違うため、演算の法則も新たに確認する必要があるわけです。

ベクトルの平行

\(\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\) は、ベクトルの長さは違うけど、向きは同じであることを表している。

ベクトルの分割

ベクトルの始点を変えたい時に、ベクトルの分割を使う。

ベクトルの分割
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)

この公式を解説していきます。

まず、下図のような図を描く。

\(\overrightarrow{AB}\) は始点が \(A\) で終点が \(B\) です。

点 \(A\) と 点 \(B\) を終点として、始点にしたい点 \(O\) を始点としてベクトルを引く。

図より \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)

おわりに

今回は、ベクトルの基礎・基本について説明してきました。