【実数】『数の体系』数の体系を理解する必要性とは？

小学中学年では、正の小数（分数）を使った計算をしてきました。

　例）\(\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{5}{3}=\displaystyle\frac{7}{3}\)

小数まで拡張されることにより、整数と整数の間の数字を表せるようになりました。

中学生では、負の整数と根号まで拡張されました。

　例）\(3-5=-2\)

　例）\(\sqrt{2}=1.4142\cdots \)

問題）\(x^4-4\) を”整数の範囲”で因数分解しなさい。

※「整数の範囲で」というのは、数の体系で言うと下線の数だけが存在するということです。

解答）

\(x^4-4=(x^2+2)(x^2-2)\)

整数の範囲でしか計算できないので、因数分解はここまでになります。

問題）\(x^4-4\) を”実数の範囲”で因数分解しなさい。

※「実数の範囲で」というのは数の体系で言うと下線の数だけが存在するということです。

解答）

\(x^4-4=(x^2+2)(x^2-2)\)

今回は、「実数の範囲で」計算するので、ここからさらに因数分解をすることができます。

\(=(x^2+2){x+\sqrt{2}}(x-\sqrt{2})\)

例題）\(|x-2|=4\) を解け。

この式を日本語で表すと、

→「原点からの距離が、\(4\) となる点が \(x-2\) となる。」

と書けます。

よって、

　\(x-2=\pm{4}\)

　\(x=2\pm{4}\)

　\(=6\),　\(-2\)

平方根の定義

\(a\) の平方根とは、\(2\) 乗すると \(a\) になる数のことです。

公式

\(a>0\),　\(b>0\),　\(k>0\) のとき、

1. \(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)

2. \(\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b}}\)

3. \(\sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}\)

例題）

(1)　\(\sqrt{2}\sqrt{5}=\sqrt{2\times 5}=\sqrt{10}\)

(2)　\(\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\displaystyle\frac{10}{6}}=\sqrt{\displaystyle\frac{5}{3}}\)

(3)　\(\sqrt{18}=\sqrt{3^2\times 2}=3\sqrt{2}\)